已知 和 , 求 的最值

拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法对于这个问题非常有效. 首先观察到 的情况不成立. 由对称性，我们可以假设 且 . 我们需要解以下方程组:

即，

从前两个方程中减去第三个方程，得到

因此，. 于是我们得到 这导致有两个解 和 . 因此，

参数方程

注意到球体和平面的交点产生了一个圆，可以用以下方程表示参数方程: 现在将这个代入到给定的函数中，得到 这是一个单变量函数，可以简单地进行求出最值.

不等式

我们有 ，满足

或

或

或

.

观察到:

因此，问题转化为求 的最值.

有: .

在端点和关键点上评估 : .

这表明最小值是 ，最大值为 .