求证: 对于所有的 , 成立

下面用几何法证明.

证明:

作边长为 的等边三角形 , 设点 分别在线段 上, 且 .

则有

因为 , 即 .

这个证明来自 AoPS, 不过我认为 有问题, 只有当 时才能保证这个不等式成立, 也就是说, 在更一般的情况下, 有 , 即 , 而这是一个更强的结论.

所以这个优美的证明可以很容易扩展到下面的命题.

求证: 对于所有的 , 成立

证明:

引理1:

证明:

使用均值不等式

三式相加, 得

两边同时加上 , 即

展开原式得

右边可写成: .

. 当 时, 显然成立.

. 当 , 因为 , 所以也成立.

所以 成立.

对于左边, 根据 引理1,

因为